Question

两条异面直线a，b所成的角为60°，在直线a，b上分别取点A₁，E和点A，F使AA₁⊥a，且AA₁⊥b（称AA₁为异面直线a，b的公垂线）．已知A₁E=2，AF=3，EF=5，则线段AA₁的长为

6

或3

2

．

Answer 1

分析：由两条异面直线a，b所成的角为60°，AA₁⊥a，且AA₁⊥b，A₁E=2，AF=3，EF=5，知

EF

=

EA1

+

A1A

+

AF

，故

EF

2=

EA1

2+

A1A

2+

AF

2+2

EA1

•

A1A

+2

A1A

•

AF

+2

EA 1

•

AF

，由此能求出线段AA₁的长．

解答：解：∵两条异面直线a，b所成的角为60°，
AA₁⊥a，且AA₁⊥b，A₁E=2，AF=3，EF=5，
∴

EF

=

EA1

+

A1A

+

AF

，
∴

EF

2=

EA1

2+

A1A

2+

AF

2+2

EA1

•

A1A

+2

A1A

•

AF

+2

EA 1

•

AF

，
设线段AA₁的长x，
∴25=4+x²+9±2×2×3×3×cos60°，
所以x=

6

，或x=3

2

．
故答案为：

6

，或3

2

．

点评：本题考查点、线、面间距离的计算，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．易错点是忽视符号导致出错．