Question

如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线l₁排，在路南侧沿直线l₂排，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l₁与l₂接通．已知AB=60m，BC=80m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成的小于90°的角为α．
（Ⅰ）求矩形区域ABCD内的排管费用W关于α的函数关系；
（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角α．

Answer 1

分析：（Ⅰ）过E作BC的垂线，找出角α，由题意得到角α的范围，用角α表示出公路两侧的长度及公路间的长度，乘以每米的排管费得到函数关系式；
（Ⅱ）引入辅助函数，对函数求导数，利用导数分析最值．

解答：解：（Ⅰ）如图，

过E作EM⊥BC，垂足为M，由题意得∠MEF=α(0≤tanα≤

4

3

)．
故有MF=60tanα，EF=

60

cosα

，AE+FC=80-60tanα．
∴W=（80-60tanα）×1+

60

cosα

×2=80-

60sinα

cosα

+

120

cosα

=80-

60(sinα-2)

cosα

；
（Ⅱ）设f（α）=

sinα-2

cosα

（0≤α≤α₀，tanα0=

4

3

），
则f′(α)=

cosα•cosα-(-sinα)•(sinα-2)

cos2α

=

1-2sinα

cos2α

．
令f′（α）=0，得1-2sinα=0，即sinα=

1

2

，得α=

π

6

．
∴当α∈(0，

π

6

)时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当α∈(

π

6

，α0)时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
∴当α=

π

6

时，有f(α)max=-

3

，此时Wmin=80+60

3

．
答：排管的最小费用为80+60

3

万元，相应的角为α=

π

6

．

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了利用导数求闭区间上的最值，把费用正确表示为角α的函数关系是解答该题的关键，是中档题．