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    如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线AE排水管l1，在路南侧沿直线CF排水管l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将l1与l2接通．已知AB=60m，BC=80m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为α．矩形区域ABCD内的排管费用为W．
    （1）求W关于α的函数关系式；
    （2）求W的最小值及相应的角α．
    分析：（1）过E作EM⊥BC得到角α，解直角三角形把MF用含α的代数式表示，把AE，FC也用含α的代数式表示，然后即可得到W关于α的函数关系式；
    （2）利用导数求矩形区域ABCD内的排管费用为W的最小值．
    解答：解：（1）如图，

    过E作EM⊥BC，
    垂足为M，由题意得∠MEF=α（0≤tanα≤
    4
    3
    ），
    故有MF=60tanα，EF=
    60
    cosα
    ，AE+FC=80-60tanα，
    所以W=(80-60tanα)×1+
    60
    cosα
    ×2    =80-60•
    sinα
    cosα
    +120•
    1
    cosα
    =80-60•
    sinα-2
    cosα
    ．
    （2）设f(α)=
    sinα-2
    cosα
    （其中0≤α≤α0＜
    π
    2
    ，tanα0=
    4
    3
    ），
    则f′(α)=
    cosαcosα-(-sinα)(sinα-2)
    cos2α
    =
    1-sin2α
    cos2α
    ．
    令f′（α）=0得1-2sin2α=0，即sinα=
    1
    2
    ，得α=
    π
    6
    ．
    列表
    α (0，
    π
    6
    )
    π
    6
    		 (
    π
    6
    ，α0)
    f′（α） + 0 -
    f（α） 单调递增 极大值 单调递减
    所以当α=
    π
    6
    时有f(α)max=
    sin
    π
    6
    -2
    cos
    π
    6
    =
    1
    2
    -2
    		3
    2
    =-
    		3
    ，此时有Wmin=80+60
    		3
    ．
    答：排管的最小费用为80+60
    		3
    万元，相应的角α=
    π
    6
    ．
    点评：本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了利用导函数求函数的最值，对于实际问题要注意的是需要注明具有实际意义的函数定义域，正确的建模是解答该题的关键，是中档题．
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    		3
    m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为α．矩形区域内的排管费用为W．
    （1）求W关于α的函数关系式；
    （2）求W的最小值及相应的角α．

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    如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线l1排，在路南侧沿直线l2排，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB=60m，BC=80m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成的小于90°的角为α．
    （Ⅰ）求矩形区域ABCD内的排管费用W关于α的函数关系；
    （Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角α．

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    （1）求W关于α的函数关系式；

    （2）求W的最小值及相应的角α．

     

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    （Ⅰ）求矩形区域内的排管费用关于的函数关系式；

    （Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角．

     

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