Question

已知函数f（x）=2sinωx+cos（ωx+

π

6

）-sin（ωx-

π

3

）-1（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为4π．
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值及相应的x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，若角A、B、C所对边分别为a、b、c，且f（B）=1，b=3

3

，a+c=3

6

，求sinAsinC的值．

Answer 1

分析：（I）利用辅角公式与两角差的正弦公式对函数解析式进行化简可得2sin(ωx+

π

3

)-1，根据最小正周期公式求出ω的值，再由正弦函数的特点得出当

1

2

x+

π

3

=2kπ-

π

2

，f（x）取最小值，当

1

2

x+

π

3

=2kπ+

π

2

时，f（x）取最大值；
（II）将x=B代入求出B的值，再由正弦定理求出2R的值，最后根据余弦定理得出ac的值，进而可得出结果．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2sinωx+cos(ωx+

π

6

)-sin(ωx-

π

3

)-1=sinωx+

3

cosωx-1=2sin(ωx+

π

3

)-1--------------------（2分）
由

2π

ω

=4π得ω=

1

2

，所以f(x)=2sin(

1

2

x+

π

3

)-1-----------------（4分）
则当

1

2

x+

π

3

=2kπ-

π

2

即x=4kπ-

5π

3

(k∈Z)时，f（x）的最小值-3------（5分）
当

1

2

x+

π

3

=2kπ+

π

2

即x=4kπ+

π

3

(k∈Z)时，f（x）的最大值1-------（6分）
（Ⅱ）由f（B）=1，得2sin(

1

2

B+

π

3

)-1=1，解得B=

π

3

-------------（8分）
∴2R=

b

sinB

=

3 3

3 2

=6------------------------（10分）
又由余弦定理知b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-3ac，∴ac=9
则sinAsinC=

a

2R

•

c

2R

=

1

4

-------------------------（12分）

点评：此题考查了利用辅角公式与两角差的正弦公式对函数解析式进行化简，以及正弦定理和余弦定理的应用，有一定的综合性，属于中档题．