Question

【题目】已知过定点，且与直线：相切的动圆圆心为.

（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；

（Ⅱ）过点作直线与轨迹交于、两点，交直线于点，中点记为，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）16

【解析】

（Ⅰ）根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，由此可得轨迹方程；

（Ⅱ）设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到，再求得，根据平面向量的数量积公式运算后，根据基本不等式可得最小值.

（Ⅰ）由题意可知，圆心到点的距离等于它到直线：的距离，

所以圆心的轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，

所以所求轨迹的方程为：.

（Ⅱ）设直线的方程为，与抛物线方程联立消去得，

设，则，所以，

易得，

所以

（当且仅当时取得等号）

所以的最小值为16