【题目】设二次函数满足下列条件:当
时,
的最小值为0,且
成立;当
时,
恒成立.
(1)求的解析式;
(2)若对,不等式
恒成立、求实数
的取值范围;
(3)求最大的实数,使得存在实数
,只要当
时,就有
成立.
【答案】(1);(2)
;(3)9.
【解析】
(1)由知函数图象的对称轴是
,最小值为0,因此顶点为
,这样函数解析式可写为
,在不等式
令
得
,从而有
,由此可求得
;
(2)不等式化为
,当
时,应有
,当
,应有
.由此可得
的取值范围;
(3)由,即
的图象与直线
切于点
,因此把
的图象向右平移,就有一部分满足
,由此可找到
的最大值.
解:(1)由题意,函数的顶点坐标为,
解析式可设为,
又,∴
,∴
,∴
,
经检验,当时,
恒成立,
∴函数解析式为.
(2)不等式变形为:,
令,对称轴为
,
当即
时,
在
上单调增,∴
,解得
,∴
.
当时,
,解得
,
∴.
综上所述.
(本小问也可用分离参数的方法来求)
(3)当时,
与
相切于点
,向右平移
的过程中,
令与
相交于两点
和
(
在左),
由图可知,当点与
重合时,点
的横坐标即为
的最大值.
此时,得
或-4,∴
.
消去
得:
,解得
或9,
∴的最大值为9.
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【题目】如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,且∠DAB=60°,△PAB是边长为a的正三角形,且平面PAB⊥平面ABCD,已知点M是PD的中点.
(1)证明:PB∥平面AMC;
(2)求直线BD与平面AMC所成角的正弦值.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,且抛物线
的焦点恰好是椭圆
的一个焦点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点作直线
与椭圆
交于
,
两点,点
满足
(
为坐标原点),求四边形
面积的最大值,并求此时直线
的方程.
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【题目】某运动员每次射击命中不低于8环的概率为,命中8环以下的概率为
,现用随机模拟的方法估计该运动员三次射击中有两次命中不低于8环,一次命中8环以下的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定0、1、2、3、4、5表示命中不低于8环,6、7、8、9表示命中8环以下,再以每三个随机数为一组,代表三次射击的结果,产生了如下20组随机数:
据此估计,该运动员三次射击中有两次命中不低于8环,一次命中8环以下的概率为( )
A. B.
C. D.
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【题目】对于定义域为的函数
,若同时满足下列条件:
①在
内单调递增或单调递减;
②存在区间,使
在
上的值域为
;那么把
(
)叫闭函数.
(1)求闭函数符合条件②的区间
;
(2)判断函数是否为闭函数?并说明理由;
(3)判断函数是否为闭函数?若是闭函数,求实数
的取值范围.
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【题目】已知函数恰有3个零点,则实数
的取值范围为( )
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】,在
上单调递减.若
,则
在
上递增,那么零点个数至多有一个,不符合题意,故
.故需
当
时
,且
,使得第一段有一个零点,故
.对于第二段,
,故需
在区间
有两个零点,
,故
在
上递增,在
上递减,所以
,解得
.综上所述,
【点睛】本小题主要考查函数的图象与性质,考查含有参数的分段函数零点问题的求解策略,考查了利用导数研究函数的单调区间,极值,最值等基本问题.其中用到了多种方法,首先对于第一段函数的分析利用了分离常数法,且直接看出函数的单调性.第二段函数利用的是导数来研究图像与性质.
【题型】单选题
【结束】
13
【题目】设,
满足约束条件
,则
的最大值为_______.
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【题目】某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元。
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式;
(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,怎样分配资金才能获得最大收益?其最大收益为多少万元?
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【题目】已知函数为奇函数,曲线
在点
处的切线与直线
垂直,导函数
的最小值为-12.
(1)求函数的解析式;
(2)用列表法求函数在
上的单调增区间、极值、最值.
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【题目】已知,
分别是双曲线
的左顶点、右焦点,过
的直线
与
的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和
轴分别交于
,
两点.若
,则
的离心率是( )
A. B.
C.
D.
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