【题目】已知函数 f(x)=ex(ex﹣a)﹣a2x.(12分)
(1)讨论 f(x)的单调性;
(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.
【答案】
(1)
解:f(x)=ex(ex﹣a)﹣a2x,
∴f′(x)=2e2x﹣aex﹣a2=(2ex+a)(ex﹣a),
①当a=0时,f′(x)>0恒成立,
∴f(x)在R上单调递增,
②当a>0时,2ex+a>0,令f′(x)=0,解得x=lna,
当x<lna时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
当x>lna时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
③当a<0时,ex﹣a>0,令f′(x)=0,解得x=ln(﹣ ),
当x<ln(﹣ )时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
当x>ln(﹣ )时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
综上所述,当a=0时,f(x)在R上单调递增,
当a>0时,f(x)在(﹣∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,
当a<0时,f(x)在(﹣∞,ln(﹣ ))上单调递减,在(ln(﹣ ),+∞)上单调递增,
(2)
①当a=0时,f(x)=e2x>0恒成立,
②当a>0时,由(1)可得f(x)min=f(lna)=﹣a2lna≥0,
∴lna≤0,
∴0<a≤1,
③当a>0时,由(1)可得f(x)min=f(ln(﹣ ))= ﹣a2ln(﹣ )≥0,
∴ln(﹣ )≤ ,
∴﹣ ≤a<0,
综上所述a的取值范围为[﹣ ,1]
【解析】(1.)先求导,再分类讨论,根据导数和函数的单调性即可判断,
(2.)根据(1)的结论,分别求出函数的最小值,即可求出a的范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本求导法则的相关知识,掌握若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导,以及对利用导数研究函数的单调性的理解,了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90°. (Ⅰ)证明:直线BC∥平面PAD;
(Ⅱ)若△PAD面积为2 ,求四棱锥P﹣ABCD的体积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C: + =1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(﹣1, ),P4(1, )中恰有三点在椭圆C上.(12分)
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1,证明:l过定点.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinB+sinA(sinC﹣cosC)=0,a=2,c= ,则C=( )
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(12分)
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P﹣ABCD的体积为 ,求该四棱锥的侧面积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com