Question

13．下列函数在其定义域中，既是奇函数又是增函数的（　　）

• A． y=x+1
• B． y=-x²
• C． y=x|x|
• D． $y=\frac{1}{x}$

Answer 1

分析 利用函数奇偶性的定义判断各个选项中的函数的奇偶性，化简后由基本初等函数的单调性，判断函数在定义域上的单调性，从而得出答案．

解答 解：因y=x+1的图象不关于原点对称，所以不是奇函数，不符合题意；
y=-x²在定义域R上为偶函数，不符合题意；
因函数y=x|x|的定义域为R，且（-x）|-x|=-x|x|，所以为奇函数，
又y=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，则函数y=x|x|在[0，+∞），（-∞，0）上单调递增，
∵0²=-0²，∴该函数在定义域R上是增函数，符合题意；
由于函数y=-$\frac{1}{x}$是奇函数，但在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上不是增函数，不符合题意．
故选C．

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性的判断，以及含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，熟练掌握基本初等函数的奇偶性、单调性是解题的关键，属于中档题．