Question

2．已知O为坐标原点，设动点M（2，t）（t＞0）．
（1）若过点P（0，4$\sqrt{3}$）的直线l与圆C：x²+y²-8x=0相切，求直线l的方程；
（2）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设A（1，0），过点A作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析 （1）圆C：x²+y²-8x=0化为（x-4）²+y²=16，得到圆心C（4，0），半径r=4，分类讨论即可求直线l的方程；
（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x-4y-5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；
（3）设出点N的坐标，由$\overrightarrow{FN}$⊥$\overrightarrow{OM}$得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{ON}$，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-8x=0化为（x-4）²+y²=16，得到圆心C（4，0），半径r=4．
斜率不存在时，x=0满足题意；
斜率存在时，设切线方程为y=kx+4$\sqrt{3}$，即kx-y+4$\sqrt{3}$=0，
根据圆心到切线的距离等于半径可得4=$\frac{|4k+4\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，解得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故切线方程为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4$\sqrt{3}$，
综上所述，直线l的方程为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4$\sqrt{3}$或x=0．
（2）以OM为直径的圆的方程为（x-1）²+（y-$\frac{t}{2}$）=$\frac{{t}^{2}}{4}$+1，
其圆心为（1，$\frac{t}{2}$），半径r=$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{4}+1}$
因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2
所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离d=$\frac{|3-2t-5|}{5}$=$\frac{t}{2}$，解得t=4
所求圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=5；
（3）设N（x₀，y₀），则$\overrightarrow{FN}$=（x₀-1，y₀），$\overrightarrow{OM}$=（2，t），$\overrightarrow{MN}$=（x₀-2，y₀-t），$\overrightarrow{ON}$=（x₀，y₀），
∵$\overrightarrow{FN}$⊥$\overrightarrow{OM}$，∴2（x₀-1）+ty₀=0，∴2x₀+ty₀=2，
又∵$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{ON}$，∴x₀（x₀-2）+y₀（y₀-t）=0，
∴x₀²+y₀²=2x₀+ty₀=2，
所以|$\overrightarrow{ON}$|=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=$\sqrt{2}$为定值．

点评 此题综合考查了圆的简单性质，垂径定理及平面向量的数量积的运算法则．要求学生掌握平面向量垂直时满足的条件是两向量的数量积为0，属于中档题．