Question

1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tanA=3，cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，c=4．
（1）求角B；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据cosC可求得sinC和tanC，根据tanB=-tan（A+C），可求得tanB，进而求得B．
（2）先由正弦定理可求得b，根据sinA=sin（B+C）求得sinA，进而根据三角形的面积公式求得面积．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）∵cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可得：tanC=2，…2分
∵tanB=-tan（A+C）=-$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$=1，
又0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{4}$…4分
（2）由正弦定理$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，可得b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\sqrt{10}$，
由sinA=sin（B+C）=sin（$\frac{π}{4}$+C）得，sinA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
∴△ABC面积为：S=$\frac{1}{2}$bcsinA=6…10分

点评 本题主要考查了正弦定理和三角形面积公式的实际应用．正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式都是解三角形的常用公式，需要重点记忆，属于基础题．