Question

13．如图所示，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，CD∥AB，AC⊥BD，垂足为O，侧面SAD⊥底面ABCD，且∠ADS=$\frac{π}{2}$，AB=8，AD=$\sqrt{34}$，SD=$\sqrt{30}$，M为BS中点．
（1）求证BS⊥平面AMC；
（2）求平面SDC与平面AMC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出SD⊥AC，AC⊥BS，AM⊥BS，由此能证明BS⊥平面ACM．
（2）过D作DN⊥AB于N，求出CD=2，DN=5，以D为原点，DC为y轴，DS为z轴，以过原点垂直于DC，DS的直线为x轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

解答 证明：（1）∵平面SAD⊥平面ABCD，$∠ADS=\frac{π}{2}$，
∴SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC，
又∵ABCD等腰梯形中AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，∴AC⊥BS，
在Rt△ADS中，SD=$\sqrt{30}$，AD=$\sqrt{34}$，∴SA=8，
∵AB=8，∴△SAB为等腰三角形，
∵M为中点，∴AM⊥BS，
∴BS⊥平面ACM．
解：（2）过D作DN⊥AB于N，设CD=x，DN=h，
Rt△DAN中，${h}^{2}=（\sqrt{34}）^{2}-（\frac{8-x}{2}）^{2}$，①
∵ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，∴△ODC，△OAB均为等腰直角三角形，
∴$h=\frac{1}{2}（8+x）$，②
由①②得x=2，h=5，
以D为原点，DC为y轴，DS为z轴，以过原点垂直于DC，DS的直线为x轴，
如图建立空间直角坐标系，
则S（0，0，$\sqrt{30}$），D（0，0，0），C（0，2，0），A（5，-3，0），B（5，5，0），
M（$\frac{5}{2}，\frac{5}{2}，\frac{\sqrt{30}}{2}$），
∴$\overrightarrow{CA}$=（5，-5，0），$\overrightarrow{CM}$=（$\frac{5}{2}，\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{30}}{2}$），
设平面CAM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=5x-5y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{30}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-$\frac{\sqrt{30}}{5}$），
平面SDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设所求二面角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{1+1+（-\frac{\sqrt{30}}{5}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．
∴平面SDC与平面AMC所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．