Question

已知设函数f(x)=sinxcosx-

3

cos2x（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若函数g(x)=f(x-

π

4

)+

3

2

，求y=g（x）在[0，

π

4

]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的正弦函数将f（x）化简为：f（x）=sin（2x-

π

3

）-

3

2

即可求f（x）的最小正周期；
（2）可求得g（x）=sin（2x-

5π

6

），利用正弦函数的性质即可求其再[0，

π

4

]上的最大值．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

sin2x-

3

cos²x
=

1

2

sin2x-

3

2

（1+cos2x）
=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x-

3

2

=sin（2x-

π

3

）-

3

2

．
故f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．
（2）依题意g（x）=f（x-

π

4

）+

3

2

=sin[2（x-

π

4

）-

π

3

]-

3

2

+

3

2

=sin（2x-

5π

6

）．
当x∈[0，

π

4

]时，2x-

5

6

π∈[-

5π

6

，-

π

3

]，故-1≤g（x）≤-

1

2

，
所以g（x）在[0，

π

4

]上的最大值为g（0）=-

1

2

．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查正弦函数的单调性与最值，考查三角函数性质的综合应用，属于中档题．