Question

已知函数g(x)=-

a2

3

x3+

a

2

x2+cx(a≠0)，
（I）当a=1时，若函数g（x）在区间（-1，1）上是增函数，求实数c的取值范围；
（II）当a≥

1

2

时，（1）求证：对任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要条件是c≤

3

4

；
（2）若关于x的实系数方程g′（x）=0有两个实根α，β，求证：|α|≤1，且|β|≤1的充要条件是-

1

4

≤c≤a2-a．

Answer 1

分析：（I）要使g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立，只要它的最小值f（-1）≥0，即-1-1+c≥0，解得c≥2．
（II）设g'（x）=f（x），对任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要条件是它的最大值c+

1

4

≤1，求得c的范围．
（2）g′（x）=0有两个实根α，β，|α|≤1，且|β|≤1的充要条件是 

f( 1 2a )  ≥  0 f(1) ≤ 0

，等价于
 

c ≥  - 1 4 c  ≤ a2- a

，从而证得结论．

解答：解：（I）当a=1时，g(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+cx，g'（x）=-x²+x+c，
∵g（x）在（-1，1）上为单调递增函数，∴g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立，
∴-x²+x+c≥0在（-1，1）上恒成立，∴-1-1+c≥0，∴c≥2．
（II）设g'（x）=f（x），则f(x)=-a2x2+ax+c=-a2(x-

1

2a

)2+c+

1

4

，此抛物线关于x=

1

2a

对称，
 由a≥

1

2

可得，0＜

1

2a

≤1．对任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要条件是它的最大值c+

1

4

≤1，
即 c≤

3

4

．
（2）关于x的实系数方程g′（x）=0 即-a²x²+ax+c=0，即  -a2(x-

1

2a

)2+c+

1

4

=0，
∴g′（x）=0有两个实根α，β，|α|≤1，且|β|≤1的充要条件是 

f( 1 2a )  ≥  0 f(1) ≤ 0

，即

c+ 1 4  ≥  0 -a2+ a + c ≤ 0

，等价于 

c ≥  - 1 4 c  ≤ a2- a

，等价于   -

1

4

≤ c ≤a2-a．

点评：本题考查函数的单调性与导数的关系，二次函数在闭区间上的值域，充要条件的定义，判断g′（x）=0两个
实根α，β，|α|≤1，且|β|≤1的充要条件是 

f( 1 2a )  ≥  0 f(1) ≤ 0

，是解题的难点．