Question

把边长为acm的正六边形板材剪去六个相同的四边形(如图阴影部分)后，用剩余部分做成一个无盖的正六棱柱形容器(不计接缝).如果容器容积的最大值为3 000cm³，求正六边形板材边长a的值.

Answer 1

解：如图，设AB的长为xcm,根据题意0＜x＜,

正六棱柱的体积V(x)=Sh=(a-2x)²×6×x=18x³-18ax²+a²x,

令V′(x)=0,得x₁=,x₂=(舍去),

当0＜x＜时，V′(x)＞0，V（x）为增函数;

当＜x＜时，V′(x)＜0,V（x）为减函数.

所以在定义域（0,）内只有当x=时，V（x）取得最大值.

所以V()=3000,即（a-2×）²×6××=3000.

解得a³=9000,所以a=10cm.