Question

把边长为acm的正六边形板材剪去六个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正六棱柱形容器（不计接缝）．如果容器容积的最大值为3000cm³，求正六边形板材边长a的值．

Answer 1

分析：正六棱柱形容器的容积=底面积×高，如图所示，设被剪去四边形的一边长为xcm，则底面是边长为（a-2x）cm的正六边形，高是

3

xcm，求出体积解析式，利用求导法确定体积最大时对应的自变量x的值．

解答：解：设在原正六边形板材边上剪去的四边形的这一边长为xcm，如图所示，
根据题意，得0＜x＜

a

2

，
正六棱柱的体积：V(x)=Sh=

3

4

(a-2x)2×6×

3

x=18x3-18ax2+

9

2

a2x，
∴V′(x)=54x2-36ax+

9

2

a2，令V'（x）=0，得x1=

a

6

，x2=

a

2

（舍去），
当0＜x＜

a

6

时，V'（x）＞0，V（x）为增函数；当

a

6

＜x＜

a

2

时，V'（x）＜0，V（x）为减函数；
所以，在定义域(0，

a

2

)内，只有当x=

a

6

时，V（x）取得最大值，
所以，V(

a

6

)=3000，即

3

4

(a-2×

a

6

)2×6×

3

×

a

6

=3000，
解得：a³=9000，所以，a=10

3	9

cm．

点评：本题借助正六棱柱体积模型，建立函数解析式，利用求导法求函数最值的问题，有一定的难度．