Question

把边长为acm的正六边形板材剪去六个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正六棱柱形容器（不计接缝）．如果容器容积的最大值为3000cm³，求正六边形板材边长a的值．

Answer 1

【答案】分析：正六棱柱形容器的容积=底面积×高，如图所示，设被剪去四边形的一边长为xcm，则底面是边长为（a-2x）cm的正六边形，高是cm，求出体积解析式，利用求导法确定体积最大时对应的自变量x的值．
解答：解：设在原正六边形板材边上剪去的四边形的这一边长为xcm，如图所示，
根据题意，得，
正六棱柱的体积：，
∴，令V'（x）=0，得，（舍去），
当时，V'（x）＞0，V（x）为增函数；当时，V'（x）＜0，V（x）为减函数；
所以，在定义域内，只有当时，V（x）取得最大值，
所以，，即，
解得：a³=9000，所以，cm．
点评：本题借助正六棱柱体积模型，建立函数解析式，利用求导法求函数最值的问题，有一定的难度．