Question

【题目】函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且对于任意x1 ， x2∈D，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（3）如果f（4）=3，f（x﹣2）+f（x+1）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求实数x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：对于任意x1，x2∈D，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），

令x1=x2=1，f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），

∴f（1）=0，

（2）解：∵f[（﹣1）×（﹣1）]=f（﹣1）+f（﹣1）=2f（﹣1）=0，

∴f（﹣1）=0，

则f（﹣1×x）=f（﹣x）=f（﹣1）+f（x）=f（x）

∴f（x）为偶函数

（3）解：∵f（x1x2）=f（x1）+f（x2）且f（4）=3，

∴f（x﹣2）+f（x+1）≤3，即f[（x﹣2）（x+1）]≤f（4），

又∵f（x）在（0，+∞）上是增函数且f（x）为偶函数，

∴ 或

解得：﹣2≤x＜﹣1或﹣1＜x＜2或2＜x≤3，

∴x的取值范围为[﹣2，﹣1）∪（﹣1，2）∪（2，3]

【解析】（1）对于任意x1 ， x2∈D，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，可求f（1）；（2）由（1）赋值可求f（﹣1）=0，进而可求f（﹣1×x）=f（﹣x）=f（1）+f（x）=f（x），可得f（x）为偶函数；（3）由f（4）=3，再由奇偶性和单调性，即可得到不等式组解得即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较，以及对函数的奇偶性的理解，了解偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．