【题目】已知函数f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3),g(x)=2x﹣2,若对于任一实数x,f(x)与g(x)至少有一个为负数,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣4,﹣1)
B.(﹣4,0)
C.(0, )
D.(﹣4, )
【答案】B
【解析】解:∵g(x)=2x﹣2,当x≥1时,g(x)≥0,
又∵x∈R,f(x)与g(x)至少有一个为负数,
即f(x)<0或g(x)<0
∴f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)<0在x≥1时恒成立
所以二次函数图象开口只能向下,且与x轴交点都在(1,0)的左侧,
即 ,解得﹣4<m<0;
故选B
【考点精析】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系的相关知识点,需要掌握二次函数的零点:(1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点;(2)△=0,方程 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点;(3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点才能正确解答此题.
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【题目】函数f(x)=alnx+1(a>0).
(1)当x>0时,求证: ;
(2)在区间(1,e)上f(x)>x恒成立,求实数a的范围.
(3)当 时,求证:
(n∈N*).
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【题目】设点,动圆
经过点
且和直线
相切,记动圆的圆心
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)设曲线上一点
的横坐标为
,过
的直线交
于另一点
,交
轴于点
,过点
作
的垂线交
于另一点
.若
是
的切线,求
的最小值.
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【题目】已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,离心率
.以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8,面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若点为椭圆
上一点,直线
的方程为
,求证:直线
与椭圆
有且只有一个交点.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: =1,设R(x0 , y0)是椭圆C上的任一点,从原点O向圆R:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=8作两条切线,分别交椭圆于点P,Q.
(1)若直线OP,OQ互相垂直,求圆R的方程;
(2)若直线OP,OQ的斜率存在,并记为k1 , k2 , 求证:2k1k2+1=0;
(3)试问OP2+OQ2是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.
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【题目】在△ABC中,三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且2bcosC=2a﹣c.
(1)求角B;
(2)若△ABC的面积S= ,a+c=4,求b的值.
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【题目】为了估计某水池中鱼的尾数,先从水池中捕出2000尾鱼,并给每尾鱼做上标记(不影响存活),然后放回水池,经过适当的时间,再从水池中捕出500尾鱼,其中有标记的鱼为40尾,根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为( )
A.10000
B.20000
C.25000
D.30000
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