Question

【题目】已知数列满足，，，记数列的前项和为，则对任意，则①数列单调递增；②；③；④．上述四个结论中正确的是______．（填写相应的序号）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

先证明当时，总有，再利用数学归纳法证明，最后再利用导数及均成立，从而可得正确的选项.

先证明一个性质：当时，总有(★).

证明：令，其中，

，为上的减函数，

因，，故在存在唯一的零点.

当时，；当时，，

故在为增函数，在为减函数，

因，故当时，总有即，

从而性质得证.

令，由已证性质则有，

故对任意的恒成立.

以下用数学归纳法证明：当时，总有

因为，所以成立.

设当时，，因，故即，

所以时，也有成立，

由数学归纳法可知：对任意的，总有.

由性质★可得即，故数列单调递增，所以①正确.

令，其中.

则，在为减函数且，

所以在为减函数，

所以当时，有即，

所以即，整理得到：，其中

故

，

累加后可得即，故②正确.

令，其中

则，在为减函数，

而，，

所以在存在一个零点，

当时，；当时，，

故在为增函数，在为减函数，

而，所以当时，恒成立，

所以在上恒成立.

故当时，总有成立即成立，故③正确.

因为，故即，

因为，由累乘可得，

整理得到，

当时，则有，

故，此时有，故④不成立.

综上，四个结论中正确的是①②③.

故答案为：①②③.