【题目】如图，在
中，
，
，
.过
的中点
的动直线
与线段
交于点
.将
沿直线向上翻折至
，使得点
在平面
内的投影
落在线段
上.则点的轨迹长度为________.
【答案】
【解析】
建立空间坐标系，求出
的轨迹，根据折叠过程中量之间的关系的
，可得
的取值范围，进而得到圆心角，从而弧长即点的轨迹长度.
因为翻折前后
长度不变，所以点可以在空间中看做以
为球心，AC为直径的球面上，又因为的投影始终在
上，所以点所在的面
垂直于底面
，
故点轨迹为垂直于底面ABC的竖直面去截球所得圆面的圆弧，这个圆弧的直径为
时，
的长度（由余弦定理可得
，所以此时
），
如图，以底面点B为空间原点建系，根据底面几何关系，
得点
，点
，
设点
，翻折后点的投影
在轴上，
所以点纵坐标为0，即
由
，
，
根据空间两点之间距离公式可得轨迹：
，
又因为动点要符合空间面翻折结论：
，
即
，其中
，
又动点N在线段AB上动，设
，
故
，
且
，由，可计算得横坐标范围为
，
且点在上方，由，计算可得圆弧所在扇形圆心角为，
所以弧长为
.
故答案为：.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】惠州市某商店销售某海鲜，经理统计了春节前后50天该海鲜的日需求量
（
，单位：公斤），其频率分布直方图如下图所示.该海鲜每天进货1次，每销售1公斤可获利40元；若供大于求，剩余的海鲜削价处理，削价处理的海鲜每公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，调拨的海鲜销售1公斤可获利30元.假设商店该海鲜每天的进货量为14公斤，商店销售该海鲜的日利润为
元.
（1）求商店日利润关于日需求量的函数表达式.
（2）根据频率分布直方图，
①估计这50天此商店该海鲜日需求量的平均数.
②假设用事件发生的频率估计概率，请估计日利润不少于620元的概率.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系
中，
的参数方程为
（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
.
（1）求的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到距离的最大值及该点坐标.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某精密仪器生产车间每天生产
个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布
（单位：微米
），且相互独立．若零件的长度
满足
，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．
（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为
，求
及的数学期望
；
（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．
附：若随机变量
服从正态分布
，则
．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，椭圆
的长轴长为
，点
、
、
为椭圆上的三个点，为椭圆的右端点，
过中心
，且
，
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设
、
是椭圆上位于直线
同侧的两个动点（异于、），且满足
，试讨论直线
与直线
斜率之间的关系，并求证直线
的斜率为定值.
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