Question

若椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点C（-1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．

Answer 1

解：（1）由题意知，c+=3（c-），…（2分）
∴b=c，
∴a²=2b²，…（3分）
∴e===．…（5分）
（2）设直线l：x=ky-x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵，
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），即2y₂+y₁=0，①…（7分）
由（1）知，a²=2b²，∴椭圆方程为x²+2y²=2b²，
由，消去x，得（k²+2）y²-2ky+1-2b²=0，
∴，…②
，…③
由①②知，，，…（9分）
∵=，
∴S=3•=3•≤3•=，…（11分）
当且仅当|k|²=2，即k=时取等号，
此时直线的方程为x=或x=．…（12分）
又当|k|²=2时，=-=-1，
∴由，得b²=，
∴椭圆方程为．…（14分）
分析：（1）由c+=3（c-），能够求出椭圆的离心率．
（2）设直线l：x=ky-x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，知2y₂+y₁=0，由，得（k²+2）y²-2ky+1-2b²=0，再利用韦达定理，结合题设条件，能够求出椭圆方程．
点评：本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．