Question

15．已知函数f（x）=$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$的最大值为M，最小值为m，则$\frac{m}{M}$的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Answer 1

分析 先求出函数的定义域，再变形到根号下得y=$\sqrt{4+2\sqrt{{-x}^{2}-2x+3}}$，利用二次函数的性质求最值即可．

解答 解：由题意，函数的定义域是[-3，1]
y=$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$=$\sqrt{4+2\sqrt{{-x}^{2}-2x+3}}$，
由于-x²-2x+3在[-3，1]的最大值是4，最小值是0，
故M=2$\sqrt{2}$，最小值m=2，
则$\frac{m}{M}$的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，主要考查求函数的定义域以及通过变形利用单调性求函数的最值的能力，解答本题的关键是对函数的解析式进行变形，转化为易于判断最值的形式．