Question

已知函数y=f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（x）＜0（x＞0），试判断f（x）=

1

f(x)

在（0，+∞）上的单调性，并给出证明过程．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：首先，设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，然后，比较大小，从而得到结论．

解答： 解：函数g(x)=

1

f(x)

为（0，+∞）上增函数，证明如下：
任设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∵y=f（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴f（x₁）＞f（x₂），f（x₁）＜0，f（x₂）＜0，
g(x1)-g(x2)=

1

f(x1)

-

1

f(x2)

=

f(x2)-f(x1)

f(x1)f(x2)

，
∵f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∵f（x₁）＜0，f（x₂）＜0，
∴f（x₁）•f（x₂）＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，
∴g(x)=

1

f(x)

为（0，+∞）上的增函数．

点评：本题重点考查函数的单调性的应用，属于中档题，难度中等．