Question

5．已知正实数a，b满足a+2b=4，则ab的最大值是2．

Answer 1

分析 方法一、由ab=$\frac{1}{2}$a•2b，结合条件，运用基本不等式的变形：mn≤（$\frac{m+n}{2}$）²（m，n＞0，m=n取得等号），即可得到所求最大值；
方法二、求出a=4-2b，代入ab，转化为关于b的二次函数，配方，即可得到所求最大值．

解答 解法一、由正实数a，b满足a+2b=4，
可得ab=$\frac{1}{2}$a•2b≤$\frac{1}{2}$（$\frac{a+2b}{2}$）²=$\frac{1}{2}$×2²=2．
当且仅当a=2b=2时，ab取得最大值2．
解法二、正实数a，b满足a+2b=4，
可得a=4-2b（0＜b＜2），
则ab=（4-2b）b=-2（b²-2b）=-2（b-1）²+2，
当b=1，a=2时，ab取得最大值2．

点评 本题考查最值的求法，运用两种常见方法：基本不等式法和二次函数求最值，注意最值成立的条件，考查运算能力，属于基础题．