Question

已知函数．f（x）=Asin（φ），x∈R，A＞0，0＜φ＜，y=f（x）的部分图象如图所示，点R（0，）是该图象上的一点，P，Q分别为该图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，且 =1．
（1）求φ和A的值；
（2）若f（）=，求cos（2α+）的値．

Answer 1

解：（1）点R（0，）是f（x）=Asin（φ）的图象上的一点，∴sinφ=，
再根据0＜φ＜，可得 φ=．
设点P的坐标为（x₁，A），点Q的坐标为（x₂，-A），由题意可得 +=，+=，
解得 x₁=1，x₂=4．
∴P（1，A），Q（4，-A）．
∵=1，∴（-1，-）•（3，-2A）=-3+A²=1，∴A=2．
∴f（x）=2sin（x+）．
（2）∵f（）=2sin（+）=2sin（α+）=，∴sin（α+）=，
∴cos（2α+）=cos2（α+）=1-2=1-=．
分析：（1）把点R（0，）代入f（x）的解析式求得sinφ=，可得φ 的值．求得 P（1，A），Q（4，-A），根据 =1 求得 A=2，从而求得函数f（x）的解析式．
（2）由 f（）=求得sin（α+）=，再利用二倍角公式求得cos（2α+） 的值．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式、二倍角公式，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，
属于中档题．