Question

已知函数y=f（x），x∈R，有下列4个命题：
①若f（1+2x）=f（1-2x），则y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
②y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称；
③若y=f（x）为偶函数，且y=f（2+x）=-f（x），则y=f（x）的图象关于直线x=2对称；
④若y=f（x）为奇函数，且f（x）=f（-x-2），则y=f（x）的图象关于直线x=1对称．
其中正确命题的个数为（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：①先用换元法将f（1+2x）=f（1-2x）转化，再由转化后的形式判断对称轴的方程．
②y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称可转化为证明y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称的问题，再结合图象的平移知识进行判断．
③用-x换x，由题设条件和偶函数的性质得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x），故f（x）的图象关于直线x=2对称．
④用-x换x，由题设条件和奇函数的性质得，f（-x）=f（x-2），故y=f（x）的图象关于直线x=-1对称．

解答：解：①令t=1+2x，可得2x=t-1，代入f（1+2x）=f（1-2x）得f（t ）=f（2-t）
由于|t-1|=|2-t-1|，故可知函数y=f（x）图象关于直线x=1对称
即y=f（x）的图象关于直线x=1对称，故①是真命题．
②由题设知y=f（2-x）=f[-（x-2）]，由于函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称，∴y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=0对称，故②是假命题．
③f（x）为偶函数，且f（2+x）=-f（x），用-x换x得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x）
∴f（x）的图象关于直线x=2对称，故③是真命题．
④∵y=f（x）为奇函数，且f（x）=f（-x-2），用-x换x得，f（-x）=f（x-2），
∴y=f（x）的图象关于直线x=-1对称，因为函数=f（x）为奇函数，所以根据奇函数的对称性可知函数关于x=1也对称，故④是真命题．
故选C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的对称性、平移变换、奇偶性的合理运用．