Question

在等比数列{a_n}中，首项a₁＜0，则{a_n}是递增数列的充要条件是公比q满足（　　）

A．q＞1

B．0＜q＜1

C．q＜1

D．q＜0

Answer 1

分析：先证必要性，由首项小于0，数列为递增数列，可得公比q大于0，得到数列的各项都小于0，利用等比数列的性质化简

an+1

an

，得到其比值为q，根据其比值小于1，得到公比q小于1，综上，得到满足题意的q的范围；再证充分性，由0＜q＜1，首项为负数，得到数列各项都为负数，利用等比数列的性质化简

an+1

an

，得到其比值为q，根据q小于1，得到a_n+1＞a_n，即数列为递增数列，综上，得到{a_n}是递增数列的充要条件是公比q满足0＜q＜1，得到正确的选项．

解答：解：先证必要性：
∵a₁＜0，且{a_n}是递增数列，
∴a_n＜0，即q＞0，且

an+1

an

=

a1qn

a1qn-1

=q＜1，
则此时等比q满足0＜q＜1，
再证充分性：
∵a₁＜0，0＜q＜1，
∴a_n＜0，
∴

an+1

an

=

a1qn

a1qn-1

=q＜1，即a_n+1＞a_n，
则{a_n}是递增数列，
综上，{a_n}是递增数列的充要条件是公比q满足0＜q＜1．
故选B

点评：此题考查了等比数列的性质，通项公式，以及充要条件的证明，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键．