Question

14．若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；②对于定义域上的任意x₁，x₂，当x₁≠x₂时，恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，则称函数f（x）为“优美函数”，则下列函数中是“优美函数”的是（　　）

• A． f（x）=e^x+e^-x
• B． f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$
• C． f（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}-x$）
• D． f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，}&{x≥0}\\{-{x}^{2}，}&{x＜0}\end{array}\right.$

Answer 1

分析 由题意知“优美函数”既是奇函数，又是减函数，由此利用函数的奇偶性和单调性能确定正确选项．

解答 解：∵函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；
②对于定义域上的任意x₁，x₂，当x₁≠x₂时，恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
则称函数f（x）为“优美函数”，
∴“优美函数”既是奇函数，又是减函数，
在A中，f（x）=e^x+e^-x是偶函数，故A不是“优美函数”；
在B中，f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$是增函数，故B不是“优美函数”；
在C中，f（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}-x$）既是奇函数，又是减函数，故C是“优美函数”；
在D中，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，}&{x≥0}\\{-{x}^{2}，}&{x＜0}\end{array}\right.$是增函数，故D不是“优美函数”．
故选：C．

点评 本题考查“优美函数”的判断，是基础题，解题时要认真审题，解题的关键是判断出“优美函数”既是奇函数，又是减函数，解题时要注意函数的奇偶性和单调性的合理运用．