Question

4．已知双曲线C的中心在坐标原点，焦距2c=6，一条准线方程为x=2
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C的渐近线与圆（x-3）²+y²=r²（r＞0）相切，求实数r的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=3，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2，解得a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$，即可得到双曲线的方程；
（2）求得渐近线方程，由直线和圆相切的条件：d=r，运用点到直线的距离公式，计算即可得到r．

解答 解：（1）焦距2c=6，一条准线方程为x=2，
可得c=3，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2，
解得c=3，a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）双曲线C的渐近线为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
由渐近线与圆（x-3）²+y²=r²（r＞0）相切，
可得圆心（3，0）到渐近线的距离为r，
即d=$\frac{|\frac{3\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}$=r，可得r=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，以及直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于基础题．