Question

已知定义在R上的函数f（x）=2x³-3ax²，其中a为常数．
（Ⅰ）若?x∈（-∞，1），f′（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若x∈[0，1]，函数f（x）在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f′（x）=6x²-6ax，则f′（x）≥a化为6x²-6ax-a≥0，令g（x）=6x²-6ax-a，x∈（-∞，1），则问题转化为g（x）_min≥0，按照对称轴与区间的位置关系讨论可求得g（x）_min；
（Ⅱ）f′（x）=6x（x-a），分a≥1，0＜a＜1两种情况讨论导数符号，由符号可判断函数的单调性，根据单调性可得最大值情况，从而可得答案；

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=6x²-6ax，
∴?x∈（-∞，1），f'（x）≥a⇒6x²-6ax-a≥0恒成立，
令g（x）=6x²-6ax-a，x∈（-∞，1），
当

a 2 ≤1 g( a 2 )≥0

或

a 2 ＞1 g(1)≥0

，即

a≤2 6×( a 2 )2-6a× a 2 -a≥0

或

a＞2 6-6a-a≥0

，
解得-

2

3

≤a≤0；
（Ⅱ）f′（x）=6x²-6ax=6x（x-a），
若a≥1时，对?x∈[0，1]，f′（x）≤0恒成立，
故f（x）在区间[0，1]上为减函数，在x=0处取到最大值．
若0＜a＜1时，f（x）在[0，a]上为减函数，[a，1]上为增函数，
则f(1)=2-3a≤f(0)=0⇒a≥

2

3

，
综上所述：若x∈[0，1]，函数f（x）在x=0处取得最大值，
则正数a的取值范围为a≥

2

3

．

点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力．