Question

10．已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，|$\overrightarrow{OA}$|=2|$\overrightarrow{AB}$|，则$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{BC}$等于（　　）

• A． $-\frac{15}{4}$
• B． $-\frac{3}{4}$
• C． $\frac{15}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由题意可得三角形是以角A为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边和角，代入数量积公式得答案．

解答 解：三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴O为BC的中点，故△ABC是直角三角形，∠A为直角．
又|$\overrightarrow{OA}$|=2|$\overrightarrow{AB}$|，
∴|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{1}{2}$，|$\overrightarrow{BC}$|=2，
∴|$\overrightarrow{AC}$|=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴cosC=$\frac{A{C}^{2}+O{C}^{2}-O{A}^{2}}{2•AC•OC}$=$\frac{\frac{15}{4}}{2×\frac{\sqrt{15}}{2}×1}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{BC}$=-$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{\sqrt{15}}{2}$×2×$\frac{\sqrt{15}}{2}$=-$\frac{15}{4}$
故选：A．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查直角三角形中的边角关系，是中档题．