【题目】如图,在三棱柱中,
平面
,
,点
分别在棱
和棱
上,且
为棱
的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)
.
【解析】
以为原点,分别以
的方向为
轴,
轴,
轴的正方向建立空间直角坐标系.
(Ⅰ)计算出向量和
的坐标,得出
,即可证明出
;
(Ⅱ)可知平面的一个法向量为
,计算出平面
的一个法向量为
,利用空间向量法计算出二面角
的余弦值,利用同角三角函数的基本关系可求解结果;
(Ⅲ)利用空间向量法可求得直线与平面
所成角的正弦值.
依题意,以为原点,分别以
、
、
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),
可得、
、
、
、
、
、
、
、
.
(Ⅰ)依题意,,
,
从而,所以
;
(Ⅱ)依题意,是平面
的一个法向量,
,
.
设为平面
的法向量,
则,即
,
不妨设,可得
.
,
.
所以,二面角的正弦值为
;
(Ⅲ)依题意,.
由(Ⅱ)知为平面
的一个法向量,于是
.
所以,直线与平面
所成角的正弦值为
.
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【题目】现有边长均为1的正方形正五边形正六边形及半径为1的圆各一个,在水平桌面上无滑动滚动一周,它们的中心的运动轨迹长分别为,
,
,
,则( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆的右焦点为
,点
在椭圆
上,点
在圆
上,且圆
上的所有点均在椭圆
外,若
的最小值为
,且椭圆
的长轴长恰与圆
的直径长相等,则下列说法正确的是( )
A.椭圆的焦距为
B.椭圆
的短轴长为
C.的最小值为
D.过点
的圆
的切线斜率为
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【题目】随着2022年北京冬奥会的临近,中国冰雪产业快速发展,冰雪运动人数快速上升,冰雪运动市场需求得到释放.如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数(单位:万人)与同比增长情况统计图则下面结论中正确的是( ).
A.2012-2018年,中国雪场滑雪人数逐年增加;
B.2013-2015年,中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加;
C.中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人,因此这两年的同比增长率均有提高;
D.2016-2018年,中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%.
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【题目】2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发,一方有难八方支援,全国各地的白衣天使走上战场的第一线,某医院抽调甲、乙两名医生,抽调、
、
三名护士支援武汉第一医院与第二医院,参加武汉疫情狙击战其中选一名护士与一名医生去第一医院,其它都在第二医院工作,则医生甲和护士
被选在第一医院工作的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2⊥F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B.
(1)求△AF1F2的周长;
(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求的最小值;
(3)设点M在椭圆E上,记△OAB与△MAB的面积分别为S1,S2,若S2=3S1,求点M的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,其中
.
(Ⅰ)写出直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)在平面直角坐标系中,设直线
与曲线
相交于
,
两点.若点
恰为线段
的三等分点,求
的值.
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【题目】某校高二年级进行选课走班,已知语文、数学、英语是必选学科,另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中任选3门进行学习. 现有甲、乙、丙三人,若同学甲必选物理,则下列结论正确的是( )
A.甲的不同的选法种数为10
B.甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
C.乙同学在选物理的条件下选化学的概率是
D.乙、丙两名同学都选物理的概率是
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