Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{13}$．
（1）求|$\overrightarrow{b}$|；
（2）求2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）把|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{13}$两边平方可得|$\overrightarrow{b}$|的方程，解方程可得；
（2）由（1）可得（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$的值，而2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为$\frac{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$，代值计算可得．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{13}$，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=13，∴9+2×$3×|\overrightarrow{b}|$×cos120°+|$\overrightarrow{b}$|²=13，
整理可得|$\overrightarrow{b}$|²-3|$\overrightarrow{b}$|-4=0，
解得|$\overrightarrow{b}$|=4，或|$\overrightarrow{b}$|=-1（舍去）；
（2）由（1）可得（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$
=2×$3×4×（-\frac{1}{2}）$-16=-28，
∴2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|cos＜2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$＞
=$\frac{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-28}{4}$=-7．

点评 本题考查向量的投影，涉及向量的数量积和模长公式，属中档题．