Question

19．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{b}$|，（$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角大小为（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 根据向量数量积的定义公式进行求解即可．

解答 解：∵（$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，
∴（$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=0，
即$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{a}$=0，
即$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{a}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$²，
∵|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{b}$|，
∴2|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，
则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角满足cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\sqrt{3}{\overrightarrow{a}}^{2}}{2|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则θ=30°，
故选：A．

点评 本题主要考查向量夹角的计算，根据向量数量积的应用是解决本题的关键．