Question

7．设函数f（x）=e^x-e^-x．（1）判断函数y=f（x）奇偶性；
（2）讨论f（x）的单调性并求函数y=f（x）在区间[2，3]的最大值和最小值（结果用分式表示）
（3）证明：f（x）的导数f′（x）≥2．

Answer 1

分析 （1）利用函数的奇偶性的定义，判断证明即可．
（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，求出函数的最值即可．
（3）利用函数的导数，求出导数的最小值即可证明结果．

解答 解：（1）∵$f（x）={e^x}-{e^{-x}}={e^x}-\frac{1}{e^x}$，e^x＞0，
函数y=f（x）的定义域为实数R关于原点对称 　（2分）
又∵f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x）
∴函数y=f（x）为奇函数．（4分）
（2）f（x）的导数$f'（x）=（{e^x}-\frac{1}{e^x}）'={e^x}+{e^{-x}}$＞0恒成立．所以函数y=f（x）定义域上 为单调增函数（也可用定义证明）　　　　　　（ 8分）
所以函数y=f（x）在区间[2，3]上也单调递增；函数y=f（x）在x=3处取得最大值，且最大值为$f（3）={e^3}-{e^{-3}}=\frac{{{e^6}-1}}{e^3}$
在x=2处取得最小值，且最小值为$f（2）={e^2}-{e^{-2}}=\frac{{{e^4}-1}}{e^2}$（ 12分）
（3）由于f（x）的导数$f'（x）=（{e^x}-\frac{1}{e^x}）'={e^x}+{e^{-x}}$$≥2\sqrt{{e^x}•{e^{-x}}}=2$，故f′（x）≥2．
（当且仅当x=0时，等号成立）．　　　　　　　　　　　　　　 （16分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．