Question

18．已知f（x）=x³+3ax²+bx+a²（a＞1）在x=-1时有极值0．
（1）求常数 a，b的值；
（2）方程f（x）=c在区间[-4，0]上有三个不同的实根时，求实数c的范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导函数，由f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1时有极值O，则f（-1）=0，f′（-1）=0，两式联立可求常数a，b的值；
（2）把a，b代入后得到函数解析式，运用函数的导函数大于0和小于0求解函数f（x）的单调区间和函数f（x）的极值，再求出f（-4）和f（0），结合函数的单调性作出函数图象的大致形状，数形结合可求得实数c的范围．

解答 解：（1）由f（x）=x³+3ax²+bx+a²，得：f′（x）=3x²+6ax+b
因为f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1时有极值O，
所以$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=0}\\{f（-1）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3-6a+b=0}\\{-1+3a-b+{a}^{2}=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=3\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=9\end{array}\right.$，
当a=1，b=3时，f（x）=x³+3x²+3x+1，
f′（x）=3x²+6x+3=3（x²+2x+1）=3（x+1）²≥0
所以函数f（x）=x³+3x²+3x+1在（-∞，+∞）上为增函数，
不满足在x=-1时有极值O，应舍掉，
所以，常数a，b的值分别为a=2，b=9；
（2）当a=2，b=9时，f（x）=x³+6x²+9x+4，
f′（x）=3x²+12x+9，
由3x²+12x+9＞0，得：x＜-3或x＞-1，
由3x²+12x+9＜0，得：-3＜x＜-1．
所以，函数f（x）=x³+6x²+9x+4的增区间为（-∞，-3），（-1，+∞）．减区间为（-3，-1）．
又f（-4）=0，f（-3）=4，f（-1）=0，f（0）=4，
所以函数f（x）=x³+6x²+9x+4的大致图象如图，
若方程f（x）=C在区间[-4，0]上有三个不同的实根，则函数y=f（x）与y=C的图象有三个不同的交点，
由图象可知方程f（x）=C在区间[-4，0]上有三个不同的实根时实数c的范围是（0，4）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数在某区间上的导函数大于0，函数在该区间上为增函数，函数在某区间上的导函数小于0，函数在该区间上为减函数，考查了数形结合的解题思想，同时训练了函数在极值点处的导数等于0，此题是中档题．