Question

18．已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁•a₂•a₃…a_n=（$\sqrt{2}$）${\;}^{{b}_{n}}$（n∈N^*）．若{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁=2，b₃=6+b₂，求b_n=n（n+1）．

Answer 1

分析 由已知式子易得等比数列{a_n}的公比q=2，进而由已知等式和指数的运算可得．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₁•a₂•a₃…a_n=（$\sqrt{2}$）${\;}^{{b}_{n}}$（n∈N^*）．，
∴a₁•a₂•a₃=$（\sqrt{2}）^{{b}_{3}}$，∴a₁³q³=8q³=$（\sqrt{2}）^{{b}_{3}}$，
同理可得a₁•a₂=$（\sqrt{2}）^{{b}_{2}}$，∴a₁²q=4q=$（\sqrt{2}）^{{b}_{2}}$，
又b₃=6+b₂，∴8q³=$（\sqrt{2}）^{6+{b}_{2}}$=$（\sqrt{2}）^{6}$×$（\sqrt{2}）^{{b}_{2}}$=8×4q，
解得q=2或q=-2，
∵a₁•a₂=$（\sqrt{2}）^{{b}_{2}}$＞0，∴q=2，
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ，又a₁•a₂•a₃…a_n=（$\sqrt{2}$）${\;}^{{b}_{n}}$（n∈N^*），
∴2ⁿ•${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$=${2}^{\frac{{b}_{n}}{2}}$，∴b_n=n（n+1），
故答案为：n（n+1）

点评 本题考查等比数列的通项公式，涉及分类讨论和指数的运算，属中档题．