Question

已知函数f（x）=

2-lnx

x+1

，对函数f（x）定义域内的任意x，都有xf（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（1，+∞）
• B、（-∞，1）
• C、（6，+∞）
• D、不确定

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：把f（x）的解析式代入xf（x）＜m，分离变量m，构造函数g(x)=

2x-xlnx

x+1

，求其导函数g′(x)=

1-x-lnx

(x+1)2

再令h（x）=1-x-lnx，由其导函数的符号分析得到g′（x）在定义域内不同区间内的符号，最后得到函数
g（x）的单调性，求出最值，则答案可求．

解答： 解：f（x）=

2-lnx

x+1

，由xf（x）＜m，得

2x-xlnx

x+1

＜m（x＞0），
令g(x)=

2x-xlnx

x+1

，则g′(x)=

1-x-lnx

(x+1)2

，
再令h（x）=1-x-lnx，则h′(x)=-1-

1

x

＜0，
故h（x）在（0，+∞）上是减函数．
当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，
当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，
从而当0＜x＜1时，g′（x）＞0，
当x＞1时，g′（x）＜0．
故当0＜x＜1时，g（x）单调递增，
当x＞1时，g（x）单调递减．
∴g（x）_max=g（1）=1．
∴要使

2x-xlnx

x+1

＜m成立，只需m＞1．
故选：A．

点评：本题考查了恒成立问题，考查了综合利用导数研究函数的单调性和最值，考查了数学转化思想方法，是压轴题．