Question

已知椭圆

x2

12

+

y2

3

=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₁作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P．
（1）求|PF₂|；
（2）过右焦点F₂的直线l，它的一个方向向量

d

=（1，1），与椭圆相交于A，B两点，求△F₁AB的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意方程求出其焦点坐标，联立

x=-3 x2 12 + y2 3 =1

求得P的坐标，然后由椭圆定义求得|PF₂|；
（2）由直线的方向向量得到直线的斜率，写出直线方程，和题意方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A，B两点的纵坐标的和与积，代入面积公式∴S△F1AB=

1

2

|F1F2||y1-y2|求△F₁AB的面积．

解答： 解：（1）由椭圆

x2

12

+

y2

3

=1，得a²=12，b²=3，c²=a²-b²=9，c=3．
∴F₁（-3，0），F₂（3，0），
联立

x=-3 x2 12 + y2 3 =1

，解得：y=±

3

2

．
则|PF1|=

3

2

，∴|PF₂|=2a-|PF₁|=2

3

-

3

2

=

3 3

2

；
（2）由直线l的方向向量

d

=（1，1），可得直线l的斜率为1，
则直线l的方程为y-0=1×（x-3），即y=x-3．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=x-1 x2 12 + y2 3 =1

，得5y²+2y-11=0．
y1+y2=-

2

5

，y1y2=-

11

5

．
∴S△F1AB=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

1

2

•2c•

(y1+y2)2-4y1y2

=3

(- 2 5 )2+ 44 5

=

12 14

5

．

点评：本题考查了椭圆的方程，考查了椭圆的定义，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了弦长公式的应用，是中档题．