Question

在数列{a_n}中，前n项和S_n=na+n（n-1）b，（b≠0）．
（Ⅰ）求证{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）求证：点P_n（a_n，

Sn

n

-1）都落在同一条直线上；
（Ⅲ）若a=1，b=

1

2

，且P₁、P₂、P₃三点都在以（r，r）为圆心，r为半径的圆外，求r的取值范围．

Answer 1

考点：数列与解析几何的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥1

，能证明{a_n}是首项为a，公差为2b的等差数列．
（Ⅱ）设P_n（x，y），则

x=2bn+a-2b y= na+ n(n-1) 2 •2b n -1=bn+a-b-1

，由此能证明点P_n（a_n，

Sn

n

-1）都落在同一条直线上．
（Ⅲ）由已知条件利用点与圆的位置关系能求出r的取值范围．

解答： （Ⅰ）证明：∵S_n=na+n（n-1）b，（b≠0），
a₁=S₁=a，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=a+（n-1）•2b，…（2分）
当n=1时，式子也成立．…（3分）
∴{a_n}是首项为a，公差为2b的等差数列，…（4分）
∴a_n=a+2（n-1）b．…（5分）
（Ⅱ）证明：设P_n（x，y），
由已知，得

x=2bn+a-2b y= na+ n(n-1) 2 •2b n -1=bn+a-b-1

，…（7分）
∴点P_n（a_n，

Sn

n

-1）都落在同一条直线y=

x

2

+

a

2

-1上．…（9分）
（Ⅲ）解：因为a=1，b=

1

2

，
由已知得P₁（1，0），P₂（2，

1

2

），P₃（3，1），…（10分）
由题设

(r-1)2+r2＞r2 (r-2)2+(y- 1 2 )2＞r2 (r-3)2+(r-1)2＞r2

，…（11分）
解得r∈（-∞，

5-2 2

2

）∪（4+

6

，+∞）．…（13分）

点评：本题考查{a_n}是等差数列的证明，考查点P_n（a_n，

Sn

n

-1）都落在同一条直线上的证明，考查r的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．