Question

已知函数f（x）为偶函数，且f（x）在（0，+∞）上为增函数，则f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数？请判断并给予证明．

Answer 1

分析：利用函数单调性的定义判断即可．任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，则-x₁＞-x₂＞0，利用函数f（x）为偶函数，且f（x）在（0，+∞）上为增函数，即可作出判断．

解答：解：f（x）在（-∞，0）上是减函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，则-x₁＞-x₂＞0，
∵f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
又f（x）是偶函数，
∴f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂），
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数．

点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，着重考查函数单调性的定义的应用，属于中档题．