Question

已知函数f（x）=3^x+3^-x，g（x）=

x

2

+log₃（1+3^-x）．
（1）用定义证明：函数g（x）在区间（-∞，0]上为减函数，在区间[0，+∞）上为增函数；
（2）判断函数g（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若g（x）≤

1

2

log₃f（x）+a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，作差g（x₁）-g（x₂），利用对数的性质化简变形，到能直接判断符号为止，根据函数单调性的定义，即可证得结论函数g（x）在区间（-∞，0]上为减函数，同理可证，在区间[0，+∞）上为增函数；
（2）利用函数奇偶性的定义，判断f（-x）与f（x）的关系，即可证得答案；
（3）欲使g（x）≤

1

2

log₃f（x）+a对一切实数x恒成立，只需a≥[g（x）-

1

2

log₃f（x）]_max，利用对数的运算法则进行化简，最后利用基本不等式求出右侧函数的最大值即可求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵g（x）=

x

2

+log₃（1+3^-x），
设x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，
∴g（x₁）-g（x₂）=

x1

2

+log3(1+3-x1)-

x2

2

-log3(1+3-x2)
=

x1-x2

2

+log3

3x1+x2+3x2

3x1+x2+3x1

=log3[3

x1-x2

2

•

3x1+x2+3x2

3x1+x2+3x1

]
=log3

3x1+3 x1+x2 2

3x1+3x1+x2

，
∵x₁＜x₂≤0，
则x₁+x₂＜0，x₁+x₂＜

x1+x2

2

，
∴3x1+x2＜3

x1+x2

2

，
∴

3x1+3 x1+x2 2

3x1+3x1+x2

＞1，
∴log3

3x1+3 x1+x2 2

3x1+3x1+x2

＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
∴函数g（x）在区间（-∞，0]上为减函数，
同理可证，函数g（x）在区间[0，+∞）上为增函数，
故函数g（x）在区间（-∞，0]上为减函数，在区间[0，+∞）上为增函数；
（2）f（x）为R上的奇函数．
证明：∵f（x）=3^x-3^-x，则定义域为R，
∴f（-x）=3^-x-3^x=-（3^x-3^-x）=-f（x），
根据奇函数的定义，可得f（x）为R上的奇函数；
（3）∵f（x）=3^x+3^-x，g（x）=

x

2

+log₃（1+3^-x），
∴

x

2

+log₃（1+3^-x）≤

1

2

log₃（3^x+3^-x）+a对一切实数x恒成立，
则a≥log₃3

x

2

+log₃（1+3^-x）-

1

2

log₃（3^x+3^-x）=log₃（

3 x 2 +3- x 2

3x+3-x

），
不妨令a=3

x

2

，b=3-

x

2

，则

3 x 2 +3- x 2

3x+3-x

=

a+b

a2+b2

≤

2(a2+b2)

a2+b2

=

2

，
当且仅当a=b时，即x=0时取等号，
∴a≥log₃

2

，
即实数a的取值范围a≥log₃

2

．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断，奇偶性的判断一般应用奇偶性的定义和图象，要注意先考虑函数的定义域是否关于原点对称．本题还考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．同时考查了函数求值以及函数的恒成立问题．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．属于难题．