Question

数列{a_n}满足a1=

1

2

，an=an-1+

1

n2-1

(n≥2)，则a_n=

 

．

Answer 1

分析：首先分析题目由已知a1=

1

2

，an=an-1+

1

n2-1

(n≥2)，可以联想到用错位相加的方法求解，分别列出每一个相邻两项的差，然后把它们相加即可得到a_n，又根据公式

1

n2-1

+

1

(n-1)2-1

+

1

(n-2)2-1

+…+

1

2

=

5

4

-

1

2n-1

-

1

2n+2

．可直接得到答案．

解答：解：因为a1=

1

2

，an=an-1+

1

n2-1

(n≥2)
故有：an-an-1=

1

n2-1

      an-1-an-2=

1

(n-1)2-1

      an-2-an-3=

1

(n-2)2-1

…
      a2-a1=

1

3

      a1=

1

2

把这n个等式相加即可得到a_n=

1

n2-1

+

1

(n-1)2-1

+

1

(n-2)2-1

+…+

1

2

=

5

4

-

1

2n-1

-

1

2n+2

．
故答案为

5

4

-

1

2n-1

-

1

2n+2

．

点评：此题主要考查数列的递推式的应用，其中涉及到错位相加法和公式

1

n2-1

+

1

(n-1)2-1

+

1

(n-2)2-1

+…+

1

2

=

5

4

-

1

2n-1

-

1

2n+2

．的应用，有一定的技巧性，需要同学们理解记忆．