Question

（2013•嘉兴二模）如图，已知抛物线C1：x2=2py的焦点在抛物线C2：y=

1

2

x2+1上，点P是抛物线C₁上的动点．
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过点P作抛物线C₂的两条切线，M、N分别为两个切点，设点P到直线MN的距离为d，求d的最小值．

Answer 1

分析：（I）由题意抛物线C₁的焦点为抛物线C₂的顶点（0，1），由此算出p=2，从而得到抛物线C₁的方程，得到C₁的准线方程；
（II）设P（2t，t²），M(x1，

1

2

x

2 1

+1)，N(x2，

1

2

x

2 2

+1)，用直线方程的点斜式列出直线PM方程并将点P坐标代入，化简可得

x

2 1

-4tx1+2t2-2=0，同理得到

x

2 2

-4tx2+2t2-2=0．然后利用一元二次方程根与系数的关系，算出x₁+x₂=4t，x₁x₂=2t²-2，将直线MN的两点式方程化简并代入前面算出的式可得MN的方程为y=2tx+2-t²．最后利用点到直线的距离公式列式，采用换元法并且运用基本不等式求最值，即可算出P到直线MN的距离d的最小值为

3

．

解答：解：（Ⅰ）∵抛物线C₁的方程为x²=2py，∴抛物线的焦点为F(0，

p

2

)，…（2分）
∵抛物线C1：x2=2py的焦点在抛物线C₂上
∴

p

2

=1，可得p=2．…（4分）
故抛物线C₁的方程为x²=4y，其准线方程为y=-1．…（6分）
（Ⅱ）设P（2t，t²），M(x1，

1

2

x

2 1

+1)，N(x2，

1

2

x

2 2

+1)，
可得PM的方程：y-(

1

2

x

2 1

+1)=x1(x-x1)，
∴点P坐标代入，化简得t2=2tx1-

1

2

x

2 1

+1，即

x

2 1

-4tx1+2t2-2=0．
同理可得PN：y=x2x-

1

2

x

2 2

+1，得

x

2 2

-4tx2+2t2-2=0．…（8分）
由

x 2 1 -4tx1+2t2-2=0  x 2 2 -4tx2+2t2-2=0

得x₁、x₂是方程

x

2

-4tx +2t2-2=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=4t，x₁x₂=2t²-2．…（*）
∵MN的方程：y-(

1

2

x

2 1

+1)=

1 2 x 2 1 +1-( 1 2 x 2 2 +1)

x1-x2

(x-x1)，
∴化简整理，得y-(

1

2

x

2 1

+1)=

1

2

(x1+x2)(x-x1)
代入（*）式，可得MN的方程为y=2tx+2-t²．…（12分）
于是，点P到直线MN的距离d=

|4t2-t2+2-t2|

1+4t2

=2

(1+t2)2 1+4t2

．
令s=1+4t²（s≥1），则d=

1

2

s+ 9 s +6

≥

1

2

6+6

=

3

（当s=3时取等号）．
由此可得，当P坐标为（±

2

，

1

2

）时，点P到直线MN的距离d的最小值为

3

．…（15分）

点评：本题给出抛物线C₁的焦点为抛物线C₂的顶点，求抛物线C₁的方程并讨论过抛物线C₁上动点P作抛物线C₂的两条切线的问题．着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质、一元二次方程根与系数的关系和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于中档题．