Question

（2013•嘉兴二模）已知点A（-3，0）和圆O：x²+y²=9，AB是圆O的直径，M和N是AB的三等分点，P（异于A，B）是圆O上的动点，PD⊥AB于D，

PE

=λ

ED

(λ＞0)，直线PA与BE交于C，则当λ=

1

8

时，|CM|+|CN|为定值．

Answer 1

分析：设点P（x₀，y₀），则点E（x₀，

1

1+λ

•y0），用点斜式求出PA、BE的方程，联立方程组求得点C满足的关系式，为

x2

9

+

y2

9 1+λ

=1，故点C在以AB为长轴的椭圆上，当M、N为此椭圆的焦点时，|CM|+|CN|为定值2a=6．再根据
a²-b²=c² 可得λ的值．

解答：解：由题意可得B（3，0），M（-1，0）、N（1，0），设点P（x₀，y₀），则点E（x₀，

1

1+λ

•y0）．
故PA的方程为 y=

y0

x0+3

•（x+3）…①，BE的方程为 y=

1 1+λ •y0

x0-3

（x-3）…②．
由①②联立方程组可得 y²=

y02

(1+λ)(x02-9)

 （x²-9）．
把y02=9-x02 代入化简可得

x2

9

+

y2

9 1+λ

=1，故点C在以AB为长轴的椭圆上，当M、N为此椭圆的焦点时，
|CM|+|CN|为定值2a=6．
此时，a=3，c=1，b=

9 1+λ

，由 a²-b²=c² 可得 9-

9

1+λ

=1，求得λ=

1

8

，
故答案为

1

8

．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，椭圆的定义和简单性质的应用，求两条直线的交点坐标，属于中档题．