已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数,直线与以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左焦点为,右焦点为,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点,线段垂直平分线交于点,求点的轨迹的方程;
(3)设第(2)问中的与轴交于点,不同的两点在上,且满足,求的取值范围.
(1);(2)(3)
【解析】
试题分析:(1)双曲线的离心率为,所以椭圆的离心率为。根据题意原点到直线的距离为,又因为可解得。(2)由题意知即点到直线,和到点的距离相等,根据椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点以直线为准线的抛物线。(3)由的方程为知设,根据得出的关系,用两点间距离求,再用配方法求最值。
试题解析:解(1)易知:双曲线的离心率为,,
即 , 1分
又由题意知:, 2分
椭圆的方程为. 3分
(2)
动点到定直线的距离等于它到定点的距离 5分
动点的轨迹是以为准线,为焦点的抛物线, 6分
点的轨迹的方程为. 7分
(3)由(2)知:,设,
则, 8分
, 9分
由,左式可化简为:, 10分
,
当且仅当,即时取等号, 11分
又,
当,即时,, 13分
故的取值范围是. 14分
考点:1椭圆的标准方程;2抛物线的定义;3函数值域。
科目:高中数学 来源:2015届河北邯郸高二上学期期末考试理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知椭圆的离心率,右焦点为,方程的两个实根,,则点( )
A.必在圆内 B.必在圆上
C.必在圆外 D.以上三种情况都有可能
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科目:高中数学 来源:2015届江西赣州四所重点中学高二上学期期末联考文数学试卷(解析版) 题型:选择题
如图所示,程序框图输出的所有实数对(x, y)所对应的点都在函数( )
A.y=x+1的图象上
B.y=2x的图象上
C.y=2x的图象上
D.y=2x-1的图象上
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科目:高中数学 来源:2015届江西赣州六校高二上学期期末联考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知离心率为的椭圆() 过点
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作斜率为直线与椭圆相交于两点,求的长.
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科目:高中数学 来源:2015届江西赣州六校高二上学期期末联考理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
如图所示方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是中的任何一个,允许重复,则填入方格的数字大于方格的数字的概率为( )
A. B. C. D.
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