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已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数,直线与以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.

1)求椭圆的方程;

2)设椭圆的左焦点为,右焦点为,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点,线段垂直平分线交于点,求点的轨迹的方程;

3)设第(2)问中的轴交于点,不同的两点上,且满足,的取值范围.

 

1;(23

【解析】

试题分析:(1)双曲线的离心率为,所以椭圆的离心率为。根据题意原点到直线的距离为,又因为可解得。(2)由题意知即点到直线,和到点的距离相等,根据椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点以直线为准线的抛物线。(3)由的方程为,根据得出的关系,用两点间距离求,再用配方法求最值。

试题解析:解(1)易知:双曲线的离心率为

1

又由题意知: 2

椭圆的方程为. 3

2

动点到定直线的距离等于它到定点的距离 5

动点的轨迹是以为准线,为焦点的抛物线, 6

的轨迹的方程为. 7

3)由(2)知:,

8

9

,左式可化简为: 10

当且仅当,即时取等号, 11

,即时, 13

的取值范围是. 14

考点:1椭圆的标准方程;2抛物线的定义;3函数值域。

 

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