Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是的中点，，，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）在中，得，再由平面底面，证的底面，即可证明.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面，建立空间直角坐标系，得到为平面的一个法向量，且，再求得平面的法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值．

试题解析：

（Ⅰ）在中，，为的中点，所以.

因为平面底面，且平面底面，

所以底面.

又平面，

所以.

（Ⅱ）在直角梯形中，，，为的中点，

所以，

所以四边形为平行四边形.

因为，所以，由（Ⅰ）可知平面，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，，.

因为，，所以平面，

即为平面的一个法向量，且.

因为是棱的中点，所以点的坐标为，

又，设平面的法向量为.

则，即，

令，得，，所以.

从而 .

由题知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.