Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点 在椭圆：上，且椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)记椭圆的左、右顶点分别为、,点是轴上任意一点(异于点)，过点的直线与椭圆相交于两点.

①若点的坐标为，直线的斜率为，求的面积;

②若点的坐标为，连结交于点，记直线的斜率分别为，证明：是定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②详见解析.

【解析】

(1)由题意，根据题设条件，列出方程组，求得的值，即可得到答案。

（2）设的坐标分别为，①中，联立方程组，利用根与系数的关系和弦长公式求得，进而可求解三角形的面积；②中，直线 与椭圆联立方程组，根据根与系数的关系，求得点的坐标，利用三点共线和斜率公式，即可判定，得到答案。

(1)因为，得，所以椭圆的标准方程是.

（2）设的坐标分别为，

①直线:代入椭圆方程得：，

所以

所以=..

②直线，联立方程组得：

，

则，

所以.

同理可得：

又因为三点共线，所以，即，将三点坐标

代入上式得：，化简得

整理得：，因为，所以即11分

又联立得

所以

所以.

当时，点或，

均满足.

所以为定值.