【题目】已知函数.
(1)若关于的方程
在区间
上有解,求实数
的取值范围;
(2)若对
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) m的取值范围是;(2)实数a的取值范围是
.
【解析】试题分析:(1)即求函数在区间
上值域,先求导数,再求导函数零点,列表分析导数符号变化规律,确定单调性,进而根据单调性求值域,(2)先参变分离,转化为求对应函数最值:
的最小值,利用二次求导可得函数
单调性,再根据单调性确定其最小值取法,最后根据最小值得实数
的取值范围.
试题解析:(1)方程即为
.
令,则
.
令,则
(舍),
.
当x∈[1, 3]时,随x变化情况如表:
x | 1 | 3 | |||
+ | 0 | - | |||
极大值 |
∴当x∈[1,3]时,.
∴m的取值范围是.
(2)据题意,得对
恒成立.
令,
则.
令,则当x>0时,
,
∴函数在
上递增.
∵,
∴存在唯一的零点c∈(0,1),且当x∈(0,c)时,
;当
时,
.
∴当x∈(0,c)时,;当
时,
.
∴在(0,c)上递减,在
上递增,从而
.
由得
,即
,两边取对数得
,
∴.
∴,即所求实数a的取值范围是
.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线
的顶点在原点,且该抛物线经过点
,其焦点
在
轴上.
(Ⅰ)求过点且与直线
垂直的直线的方程;
(Ⅱ)设过点的直线交抛物线
于
,
两点,
,求
的最小值.
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【题目】在直角坐标系中,已知椭圆
的上下两个焦点分别为
,且
,椭圆过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的一个顶点为
,直线
交椭圆
于另一个点
,求
的面积.
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【题目】对于在区间上有意义的函数
,满足对任意的
,
,有
恒成立,厄称
在
上是“友好”的,否则就称
在
上是“不友好”的,现有函数
.
(1)若函数在区间
(
)上是“友好”的,求实数
的取值范围;
(2)若关于的方程
的解集中有且只有一个元素,求实数
的取值范围.
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【题目】对于区间,若函数
同时满足:①
在
上是单调函数;②函数
的值域是
,则称区间
为函数
的“保值”区间.(1)写出函数
的一个“保值”区间为_____________;(2)若函数
存在“保值”区间,则实数
的取值范围为_____________.
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【题目】已知为实数,用
表示不超过
的最大整数.
(1)若函数,求
的值;
(2)若函数,求
的值域;
(3)若存在且
,使得
,则称函数
是
函数,若函数
是
函数,求
的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点
在椭圆
:
上,且椭圆
的离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)记椭圆的左、右顶点分别为
、
,点
是
轴上任意一点(异于点
),过点
的直线
与椭圆
相交于
两点.
①若点的坐标为
,直线
的斜率为
,求
的面积;
②若点的坐标为
,连结
交于点
,记直线
的斜率分别为
,证明:
是定值.
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