Question

【题目】已知函数（）是奇函数.

（1）求实数的值；

（2）若，，求的取值范围.

（3）若，且在上恒成立，求的范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）由函数为奇函数可得，代入即可得的值，再验证即可；（2）结合（1）中的结论以及可得的值，解不等式即可得的取值范围；（3）结合（1）中的结论以及可得，可得的解析式，令，，原题意可等价于在上恒成立，利用分离参数思想可得，上恒成立，求出不等式右端的的最小值即可.

（1）∵是奇函数，∴

即，即

当时，，，

是奇函数.

∴.

（2）由（1）知.

又，

∴，

即：，

∴（且）

∴，又

∴化简得：，∴

∴此时.

（3）∵，，

∴.

∴（*）.

令，

∵，∴.

∴（*）可化为：，.

要使在上恒成立，

只需：在上恒成立.

即：，上恒成立.

即：，

又函数在单减，单增.

∴，∴即

∴.